古典論理で極小な論理式で公理化される論理についての問題など

古森雄一 (千葉大学理学部)

最近, 考えている３つの問題を紹介する。

1. 線形順序なモデルに持つ中間命題論理は ((A → B) → C) → ((B → A) → C) → C を直観主義論理に加えることにより得られる。しかし, この論理式は古典論理で極小ではない。私が知っている中間命題論理の含意記号だけの公理を調べたところ全て古典論理で極小ではなかった。そこで次の問題を思いついた。 BCK 論理 (論理記号は → だけ) に古典論理で極小な含意記号だけの論理式を公理型として加えて (いくつ加えてもよい) 得られる論理はどれくらいあるか? 今のところ BCK, BCKW(= 直観主義論理), BCKWP(=BCKP 古典論理) しか得られていない。一番下を BCI にすると沢山あるが, BCI より上の論理で古典論理と比較不可能なもの (BCI+(A → B) → B → A) があるので古典論理で極小の意味が薄れる。

2. 直観主義論理の {→, ∨}-断片に A ∨ B (A, B は含意記号だけの論理式) を公理型として加えた体系の含意断片（implicational fragment）は直観主義論理の含意断片に公理型 (A → p) → (B → p) → p (ただし, p は A, B に現れない命題変数) を加えた体系に等しいか? (私の予想は no)

3. BCKβη による直観主義論理のシミュレートについて

 (cf. http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~komori/kouen/ の
    komori7.dvi, http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~04um0304/)

より詳しいことや新しい展開などは以下に載せる予定である。 http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/˜ komori/gakkai/05-09/