Siegel-Shintani-Borcherds Θ 関数について

杉山健一千葉大学理学部, 数学情報数理学科

February 22, 2000

Abstract

この稿では Borcherds による Siegel-新谷 Θ− 関数の一般化について、表現論的な立場から解説することを目標とする。

1 第 1 日目

本稿の目標は R.Borcherds の論文

R.Borcherds:Automorphic forms with singularities on Grassmannians Invent. Math. 132, 491-562(1998)

を表現論の立場から解説することです。まず、保型形式の復習から始めることにしましょう。そのために、まず幾つか記号を用意し、保型形式の定義を復習しておくことにします。

記号 1.1. (1)h̄ = {z ∈ C | Imz > 0} : Poincaré 上半平面、 (2)L:ユークリッド空間 R^{d} 内の格子、 (3)S_{m}:m− 次対称群、 (4)Δ = ∑_{i} \frac{∂^{2}}{∂x_{i}^{2}} :ラプラシアン (5)R^{b_{+},b_{−}} ： 2 次形式で正の固有値の個数が b_{+}、負の固有値の個数が b_{−} のも

のを計量として持つ実 b_{+} + b_{−} 次元ベクトル空間、 (6)M ： R^{b_{+},b_{−}} 内の格子 (7)Isom(M ⊗ R, R^{b_{+},b_{−}}) ： M ⊗ R と R^{b_{+},b_{−}} 間の計量同型全体の成す集合 (8)v ∈ Isom(M ⊗ R, R^{b_{+},b_{−}}) に対し、

[v] =^{def} v^{−1}(R^{b_{+},0}) ：正定値部分空間の v による引き戻し、

(9)Gr(M) =^{def} {[v] | v ∈ Isom(M ⊗R, R^{b_{+},b_{−}})} ≃ O(b_{+}, b_{−})/O(b_{+})×O(b_{−})：

Grassman 多様体

(10)e(z) =^{def} exp(2πiz)

補足 1.1. SL_{2}(R) は h̄ に 1 次分数変換で作用する。定義 1.1. k を半整数、 Γ を SL_{2}(R) の離散部分群、 χ を Γ 上の指標とします。 f を h̄ 上の正則関数とします。 f が重み k、指標 χ、レベル Γ の保型形式とは、関数等式：

f(γz) = χ(γ)(cz + d)^{k}f(z)  (1)

をすべての γ = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ Γ について成り立つこととします。

保型形式を構成する手段 1 つの例としてテータ対応を紹介いたしましょう。

テータ対応

H(n) =^{def} {P (x) ∈ C[x] | ΔP = 0, P is homogeneous of degree n}.

を斎次 n 次調和多項式の成す空間としますと、 P ∈ H(n) から次のように保型形式 θ_{P} を構成することができます。 (この構成法をテータ対応といいます。 )

θ_{P} (z) =^{def} ∑_{ξ∈L} P (ξ)e^{iπz(ξ,ξ)}.  (2)

θ_{P} は重み n + \frac{k}{2} を持ち、格子 L から決まる、あるレベル Γ_{L} ある指標 χ_{L} の保型形式となることが知られています。この構成方法を表現論の立場から解釈してみることにします。その前に、まず簡単なモデル (Schur-Weyl 対応) の説明をします。

Shur-Weyl 対応。 Shur-Weyl 対応とは、 k 次対称群 S_{k} の既約表現と GL_{n}(C) の既約表現との対応をいいます。このことをもう少し詳しく説明してみます。

GL_{n}(C) ⟶^{R_{k}} ⊗^{k}C^{n}  (3)

を GL_{n}(C) の k-次テンソル表現とします。一方、 ⊗^{k}C^{n} には成分の入れ替えにより S_{k} が作用し R_{k} と、この作用は互いに可換です。そこで、まず ⊗^{k}C^{n} を S_{k} の作用で既約分解しますと、各既約成分には GL_{n}(C) が作用しこの表現が既約となることが知られています。また GL_{n}(C) と S_{k} の立場を入れ替えて同様のことを行えますから、この様にして GL_{n}(C) の既約表現と S_{k} の既約表現とのあいだに 1 対 1 対応が作られます。この対応を Shur-Weyl 対応といいます。この対応の面白いところは、小さな対称性 (有限群 S_{k} の表現) から大きな対称性 (GL_{n}(C) の表現) をコントロールすることにあります。また S_{k} の既約表現達はヤング図形を用いて表現できますから、結局 GL_{n}(C) の有限次既約表現はヤング図形で完全にコントロールされることのなります。

これと同じ解釈が先程のテータ対応についても可能です。これを Howe 対応といいます。

Howe 対応。 (V, B) を 2 次元のベクトル空間とその上のシンプレクティック形式の組、 (E, S) を k 次元ベクトル空間とその上の正定値 2 次形式の組とします。ここで、幾つかの事実を思い出しておくことにします。

事実 1.1. (1)Sp(B) =^{def} Aut(V, B) ≃ SL_{2}(R),

O(S) =^{def} Aut(E, S) ≃ O(k) : k 次実直交群

(2) (V ⊗ E, B ⊗ S) はシンプレクティックベクトル空間で、自然な埋め込み：

Sp(B) × O(S) ↪ Sp(B ⊗ S)、がある。

(3)l ⊆ V をラグランジアン部分空間とすると、 l ⊗ E は V ⊗ E のラグランジアン部分空間となる。

(4)(Shale and Weil)l ⊆ V をラグランジアン部分空間とすると、 l より射影ユニタリー既約表現：

Sp(B ⊗ S) ⟶^{R_{l}} P (U(L^{2}(E))),

が定まる。ここで、 L^{2}(E) は E 上の 2 乗可積分関数全体の成す集合を表わし、 P (U(L^{2}(E))) はその上の射影ユニタリー作用素全体を表わす。更に、 l_{1}, l_{2} を V 内の 2 つのラグランジアン部分空間とすると, それぞれに対応する射影ユニタリー既約表現 R_{l_{1}}, R_{l_{2}} は同型となる。

V のラグランジアン部分空間 l を 1 つ固定して考えます。すると、射影ユニタリー既約表現：

Sp(B ⊗ S) ⟶^{R_{l}} P (U(L^{2}(E))),

ができます。これから Sp(B⊗S) の通常の既約表現を作り (この作り方はここでは説明しません)、 Sp(B) × O(S) に制限することにより、 L^{2}(E) は Sp(B) × O(S) の表現空間となります。 (この表現を R_{0} と書くことにします) これにより Schur-Weyl 対応と同じ状況になります。 (Sp(B) と GL_{n}(C) が対応し、 O(S) と S_{k} が対応します。 ) 以上の準備の下にテータ対応を表現論の立場から解釈してみます。

(1) R_{0} を O(S) の作用で既約表現への分解をします： R_{0} = ⊕_{n=0}^{∞}L^{2}(d_{n}).

ここで

·O(S) ⟶^{d_{n}} Aut(H(n))  (4)

は O(S) の n 次調和多項式のなす空間上の既約表現、また L^{2}(d_{n}) は L^{2}(E) における d_{n} の isotypic component を表わします。

(2) L^{2}(d_{n}) は Sp(B) = SL_{2}(R) 加群となりますが、これは次のような記述を持ちます。半整数 α に対し、 SL_{2}(R) の h̄ 上の反正則関数 (i.e. 正則関数の複素共役) のなす空間への表現

SL_{2}(R) ⟶^{T̄_{α}} Aut(Γ(h̄, Ō))  (5)

を

(T̄_{α}(g)f)(z) =^{def} (cz̄ + d)^{−α}f(z),  (6)

ただし、

g = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ SL_{2}(R), f ∈ Γ(h̄, Ō)),  (7)

により定義しますと、 SL_{2}(R) × O(S) 加群としての同型 (Howe)

L^{2}(d_{n}) ≃ T̄_{k+ \frac{n}{2}} ⊗ d_{n},  (8)

従って特に、

L^{2}(E) ≃ ⊕_{n=0}^{∞}T̄_{k+ \frac{n}{2}} ⊗ d_{n},  (9)

が成立いたします。この同型が先程の対応；

\{n 次斎次調和多項式 \} ⟶\{ 重みが\frac{k}{2} + n の保型形式 \}

を説明します。

さて、いよいよ Borcherds 対応を説明しましょう。

Borcherds 対応

調和多項式 P (調和多項式とは限らない) に対し、彼は h̄ × Gr(M) 上のベクトル値関数 (Siegel-Shintani-Borcherds テータ関数といわれる) Θ_{M}(P | τ, [v]) を用いて、対応：

{h̄ 上のベクトル値解析関数で

(保型形式に対応する) ある種の条件を満たすもの }

⟶^{Φ_{M} (P,·)} {Gr(M) 上の (singularities を持つ) 保型形式 }

F (τ) ⟶^{Φ_{M} (P,·)} Φ_{M}(P, ·)([v]) =^{def} ∫_{h̄/SL_{2}(Z)} < Θ_{M}(P | τ, [v]), F (τ) > dτ (10)

を構成しました。さらに Borcherds は b_{+} = 2 の時にこの対応を用いて、 IV 型対称領域上の無限積を有す保型関数を構成しました。この対応の背景にはある表論現的な picture が隠れていると思われますが、それはまだわかりません。

2 第 2 日目

今日の目標は、前日に述べました、 R. Borcherds の結果を詳しく (ただし、証明なしで) 説明することです。記号は前日の通りとして、幾つかの補足から始めることのしましょう。

補足 2.1. (1) 同型 M ⊗ Q ≃ M^{∗} ⊗ Q を通じて

M^{∗} ↪ M ⊗ Q

とみなせる。また、 M ⊗ R 上の 2 次形式より、 M ↪ M^{∗}. (2)M ⊗ R 上の 2 次形式より、非退化な双 1 次形式

M^{∗}/M × M^{∗}/M ⟶^{<,>} Q/Z,

が誘導される。定義 2.1. (Metaplectic group)Metaplectic group Mp_{2}(Z) を

Mp_{2}(Z) =^{def} \{(( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) , ±\sqrt{cτ + d}) | ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ SL_{2}(Z), τ ∈ h̄\}

ただし、積は

(A, f(τ)) · (B, g(τ)) =^{def} (AB, f(Bτ)g(τ))

により定める。補足 2.2. (1)(A, f(τ)) ⟶ A により Mp_{2}(Z) は、 SL_{2}(Z) の 2 重被覆とみなせる。

(2)Mp_{2}(Z) は、 S =^{def} (( \begin{matrix}0 & −1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) , \sqrt{τ}) 及び、 T =^{def} (( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , 1) で生成され、関係式

S^{8} = (ST)^{12} = (( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , 1)

を満たす。定義 2.2. (Weil 表現) 格子 M に対し、 Weil 表現

Mp_{2}(Z) ⟶^{ρ_{M}} Aut_{C}(C[M^{∗}/M])

を

ρ_{M}(T)e_{γ} =^{def} e(\frac{1}{2} < γ, γ >)e_{γ},

ρ_{M}(S)e_{γ} =^{def} \frac{e( \frac{1}{8} (b_{−}−b_{+}))}{\sqrt{|M^{∗}/M|}} ∑_{δ∈M^{∗}/M} e(− < γ, δ >)e_{δ}

により定める。ここで M^{∗}/M = {e_{γ}}_{γ}. また、補足 2.2 より、この定義が well-defined であることが確認される。定義 2.3. V を有限次元ベクトル空間、 Mp_{2}(Z) ⟶^{ρ} V を有限次元表現、 F を h̄ 上の V に値をとる解析関数とする。 F が重み (m_{+}, m_{−}), タイプ ρ の保型形式と

は、 (( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) , \sqrt{cτ + d}) ∈ Mp_{2}(Z) に対し関数等式：

F (\frac{aτ+b}{cτ+d}) = (cτ + d)^{m_{+}}(c\overline{τ} + d)^{m_{−}}ρ(( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) , \sqrt{cτ + d})F (τ)

を満たす時にいう。例 2.1. τ = x + iy と書くとき、

F (τ) =^{def} y

と定義すると、 F は重み (−1, −1) で自明なタイプ (i.e. ρ が自明な表現) の保型形式となる。

次に Grassman 多様体について解説をします。記号 2.1. V ∈ Isom(M ⊗ R, R^{b_{+},b_{−}}) に対し、

V_{+} =^{def} V^{−1}(R^{b_{+},0}), V_{−} =^{def} V^{−1}(R^{0,b_{−}}),

とおく。この時、 M ⊗ R ≃ V_{+} ⊕ V_{−}: 直交和、となる。また、 λ ∈ M ⊗ R に対し、 λ_{+}(resp.λ_{−}) を、それぞれ V_{+}(resp.V_{−}) への直交射影とする。以上の準備の

下に、 Grassman 多様体を

Gr(b_{+}, b_{−}) =^{def} {V_{+} | V ∈ Isom(M ⊗R, R^{b_{+},b_{−}})} ≃ O(b_{+}, b_{−})/O(b_{+})×O(b_{−})

により定義する。ここで、 O(b_{+}, b_{−}) は R^{b_{+}+b_{−}} の線型同型で、 2 次形式 x_{1}^{2} + ⋯ + x_{b_{+}}^{2} − x_{b_{−}+1}^{2} ⋯ − x_{b_{+}+b_{−}}^{2}

を保つものの全体で、 O(b_{+})(resp.O(b_{−})) =^{def} O(b_{+}, 0)(resp.O(0, b_{−})) とする。また、 V_{+} = [V] と書いたりもする。

Siegel-Shintani-Borcherds Θ 関数 x_{+}(resp.x_{−}) をそれぞれ R^{b_{+},0}(resp.R^{0,b_{−}}) の座標関数とし、 P = P (x_{+}, x_{−})

を x_{+}, x_{−} についての斎次多項式で deg_{x_{+}}P = m_{+}, deg_{x_{−}}P = m_{−} なるものとする。更に、 P は O(b_{+}) × O(b_{−}) で不変とする。

Δ =^{def} ∑_{i=1}^{b_{+}}(\frac{∂}{∂x_{i}})^{2} + ∑_{j=b_{+}+1}^{b_{+}+b_{−}}(\frac{∂}{∂x_{j}})^{2} ： (通常の) ラプラシアン

として、 [γ] ∈ M^{∗}/M(γ ∈ M^{∗}) に対し、 h̄ × Isom(M ⊗ R, R^{b_{+},b_{−}}) ≃ h̄ × O(b_{+}, b_{−}) 上の解析関数: Θ_{[γ]} を

Θ_{[γ]}(P | τ, [V]) =^{def} ∑_{λ∈M+γ} exp(−\frac{1}{8πy} Δ)P (V (λ))e(\frac{τ}{2} < λ_{V_{+}}, λ_{V_{+}} > +\frac{\overline{τ}}{2} <

λ_{V_{−}}, λ_{V_{−}} >)

により定義する。ここで、 Θ_{[γ]}(P | τ, [V]) は O(b_{+}) × O(b_{−}) 不変となることがわかるので、 h̄ × Gr(b_{+}, b_{−}) 上の解析関数に降下する。更に Siegel-Shintani-Borcherds Θ 関数を

Θ_{M}(P | τ, [V]) =^{def} ∑_{[γ]∈M^{∗}/M} e_{[γ]}Θ_{[γ]}(P | τ, [V])

により定義する。定理 2.1. (Borcherds) [V] ∈ Gr(b_{+}, b_{−}) を固定したとき、 Θ_{M}(P | τ, [V]) は C[M^{∗}/M] に値をとる、重み (m_{+} + \frac{b_{+}}{2} , m_{−} + \frac{b_{−}}{2} )、タイプ ρ_{M} の保型形式となる。

Borcherds 対応 F = ∑_{γ} e_{γ}f_{γ} を重み (\frac{1}{2}(b_{+} − b_{−}) + m_{+} − m_{−}, 0) タイプ ρ_{M} の保型形式とす

る。以下の議論では、次のことを仮定する。仮定各 f_{γ} を Fourier 展開し、

f_{γ}(τ) = ∑_{n∈Q} ∑_{k≥0,k∈Z} c_{γ}(n, k)e(nτ)y^{−k}  (11)

の形に書いた時、ある a と b があり、 |k| > a あるいは n < b となる k, n に対し、係数 c_{γ}(n, k) は

c_{γ}(n, k) = 0  (12)

を満たす。このような F について、

F_{M}(τ) =^{def} y^{m_{+}+ \frac{1}{2}} F (τ)  (13)

とおくと、 F_{M} は重み (−\frac{1}{2}b_{−} − m_{−}, −\frac{1}{2}b_{+} − m_{+})、タイプ ρ_{M} の保型形式となる。また C 双線型写像

C[M^{∗}/M] × C[M^{∗}/M] ⟶ C  (14)

を

\{ \begin{matrix}(e_{γ}, e_{δ}) = 1, & γ + δ = 0, \\ (e_{γ}, e_{δ}) = 0, & γ + δ ≠ 0. \end{matrix}  (15)

により定める。また、 M_{(− \frac{1}{2} b_{−}−m_{−},− \frac{1}{2} b_{+}−m_{+}),ρ_{M}} で集合 \{F_{M} = y^{m_{+}+ \frac{1}{2} b_{+}}F | F は C[M^{∗}/M] に値をとる重み (\frac{1}{2}(b_{+} − b_{−}) + (m_{+} −

m_{−}), 0)、タイプ ρ_{M} の保型形式で仮定を満たすもの } を表わし、 Gr(b_{+}, b_{−}) の関数全体 (但し、特異点があっても良い) の成す空間を A(Gr(b_{+}, b_{−})) で表わすものとする。以上の準備の下に、 Borcherds 対応

M_{(− \frac{1}{2} b_{−}−m_{−},− \frac{1}{2} b_{+}−m_{+}),ρ_{M}} ⟶^{Φ_{M} (P,·)} A(Gr(b_{+}, b_{−}))  (16)

を

Φ_{M}(P, F_{M})([V]) =^{def} ∫_{h̄/SL_{2}(Z)}(Θ̄_{M}(P | τ, [V]), F_{M}(τ))\frac{dxdy}{y^{2}}  (17)

により定義する。但し、

\overline{∑_{γ} e_{γ}f_{γ}} =^{def} ∑_{γ} e_{−γ} \overline{f_{γ}},  (18)

とする。保型性 σ ∈ Aut(M) の M_{(− \frac{1}{2} b_{−}−m_{−},− \frac{1}{2} b_{+}−m_{+}),ρ_{M}} への作用を

σ(∑_{γ} e_{γ}f_{γ}) =^{def} ∑_{sigma} e_{σ(γ)}f_{γ}  (19)

により定める。ここで、 σ の M^{∗}/M への作用は、反傾表現とする。この時、

Φ_{M}(σ(P), σ(F_{M}))([σV]) = Φ(P, F_{M})([V])  (20)

が成立することは簡単にわかる。よって、命題 2.1. P は Aut(M) で不変とする。 F_{M} = y^{m_{+}+ \frac{1}{2} b_{+}}F ∈ M_{(− \frac{1}{2} b_{−}−m_{−},− \frac{1}{2} b_{+}−m_{+}),ρ_{M}} に対し、

Aut(M, F) =^{def} {σ ∈ Aut(M) | σ(F) = F }

とすると、 Φ_{M}(P, F_{M}) は Aut(M, F) で不変となる。最後に正則性について述べる。 λ ∈ M^{∗} に対し、

Σ_{λ} =^{def} {V_{+} ∈ Gr(b_{+}, b_{−}) | V_{+} ⊥ λ} ≃ Gr(b_{+}, b_{−} − 1)  (21)

とおく。定理 2.2. Σ = ∪_{λ∈M^{∗}}Σ_{λ} とすると、 Φ_{M}(P, F_{M}) は Gr(b_{+}, b_{−}) \ Σ 上、滑らかな関数となる。